Кофе
emergency
дневник заведен 08-07-2007
закладки:
цитатник:
дневник:
местожительство:
Москва, Россия
[1] 27-03-2024 16:49
Между прочим

[Print]
Акша Таквааш
Суббота, 16 Июля 2022 г.
16:26 Основы математики: Квинтэссенция всех разделов в доступном изложении (продолжение)
4.2) Алгебраические уравнения
Уравнения разных степеней (квадратные, кубические итд).
Саму запись уравнения называют многочленом соответствующей степени
Решение уравнения степени - его корень
Есть у уравнения есть корень (может и не быть) - оно называется действительным.

4.3) Деление многочленов и элементарные дроби
Отношение друг к другу двух многочленов называется рациональной дробью (функцией).
Отношение двух чисел или числа с многочленом - элементарной дробью.

4.4) Системы линейных уравнений
Набор уравнений с общими неизвестными - система
При этом часть элементов системы могут быть линейно независимы друг от друга
Тут же разные действия с матрицами (потому что матрицу так же можно описать как систему уравнений, и наоборот).

5) Теория групп
Группа элементов это такой набор элементов которые можно как угодно перемножать между друг другом и результаты при этом останутся внутри группы.
Если элементы в группе можно менять местами в уравнениях - она коммутативная.
В зависимости от количества элементов группа может быть конечной или бесконечной.
Если группа состоит из степеней одного элемента - она циклическая.
Так же есть подгруппы.
Делитель всех элементов в группе называется ее индексом.
Единое правило превращающее один элемент группы в следующий - определитель

5.1) Примеры групп, группы перестановок
Самые базовые группы это наборы чисел. Натуральных, рациональных и тп.
Если взять группу целых чисел 1,2,3,4 и тд и поменять какие-то (любые) элементы местами - это будет группа перестановок. И она будет симметричной обычной группе целых чисел (и другим группам перестановок от всех целых чисел).
Перестановки могут идти по правилам и складываться в циклы. Если перестановок в группе бесконечно - это группа преобразований.
Как и все на свете - группы можно записывать в виде матриц, и там отдельная теория о том какие матрицы как соответствуют каким группам.

Мне очень нравится звучание теоремы Кэли - всякая группа изоморфна некоторой подгруппе группы преобразований некоторого класса объектов на себя.
Очень мило.

5.2) Прикладное значение групп
В целом теория групп нужна, чтобы находить недостающие элементы. К примеру нашли часть химических элементов, разложили их в таблице Менделеева в группу, выделили общие правила и далее ищем недостающие.

5.3) Структурные свойства групп
Части групп выделяются в множества, а их части в подмножества.
Ну и тут тонна действий между теми и другими. (Я об этом уже писал но как обычно в математике любая новая выдуманная хрень должна быть немедленно применена ко всем прошлым ранее выдуманным хреням.)

6) Векторы
Это уже геометрия пошла.
Соответственно у нас начинают точки, отрезки, абсолютные значения (см длина) отрезков. Далее все возможные действия между векторами (см. применить на них всю прошлую хрень).
Отдельно координатное представление - позволяющее записать векторы формулами и делать с ними все то же самое что и с прочей алгеброй.

7) Тензоры
Тензор это точка в пространстве (или ячейка в матрице) от которой отходят разные векторы. Фактически это параметры точек в пространстве. Все точки-тензоры вместе это поле. Обычно выглядит это как магнитное поле.
Математика тензоров описывает разные преобразования с тензорными полями. Ну грубо говоря если поставить рядом с полем магнит - как он изменит тензоры.
Если у точки нет векторов - она называется скаляр (или тензор нулевого ранга). Иначе это тензор первого ранга (если у нее один вектор) и так далее до бесконечности.

Далее идет дифференцирование тензоров (то есть определение с какой скоростью они растут или уменьшаются на некой области).

8) Матрицы и операторы
Опять пошли приближаться к программированию.
Для начала здесь идут уже более суровые действия нам матрицами - сложение одних матриц с другими и прочее.
Далее правила перестановок элементов в матрицах.

Оператор это собственно функция. Не знаю почему в разделе о матрицах их иначе называют. Впрочем я помню и в программировании эта же путаница была. Короче это синонимы.

Оператор может быть линейным, если это просто закон, меняющий значения матрицы. Может быть матричным, если оператор это тоже матрица (то есть к разным ячейкам применяет разные правила).
На графике оператор может быть представлен вектором или даже тензором.

Оператор мало того что тоже самое что функция. Но и к самому оператору можно применить функцию (или другой оператор. Потому что это одно и то же). Естественно.

9) Векторный анализ
Разложение пространства на векторы точек, судя по всему загоняние в матрицы, и далее дифференцирование всего этого добра.
Где-то начиная с этого момента мне уже сложно понимать отдельные детали теории, да и не так чтобы особо было интересно. Это уже сильно узкоспециализированная фигня.

10) Анализ функций комплексной переменной
Добавляем комплексные числа - это фактически переменная, внутри которой несколько чисел.
Любое число можно представить в виде комплексного, достаточно одно из комплексных чисел указать нулем.
Наоборот комплексное число представляет в виде действительного, для чего все части комплексного числа кроме первой перемножаются на мнимую единицу, ту самую которая в квадрате дает -1. И такая часть числа называется мнимой.
Такие переходы из комплексного числа в обычное теряют часть информации комплексного числа, то есть результат не равен, но сопряжен.

У комплексных чисел есть геометрическое представление, точнее тригонометрическое, и там как раз позволяет представлять мнимую часть без потери информации.
Опять же я с большим трудом уже вникаю как это тригонометрическое представление работает и как оно далее интегрируется. В целом как раз в раздел комплексных чисел мне бы хотелось еще повникать отдельно.

11) Дифференциальные уравнения
Ну про дифференциалы я уже писал. С ними как обычно применяется все алгебраическое говно, что и со всеми остальными концептами математики.
Там отдельная часть это нелинейные уравнения, то есть такие где несколько решений, что обычно получается в уравнениях высшего порядка.
Многие дифференциальные уравнения особенно высших порядков вообще даже не решаемы, часть не решаема даже приблизительно, потому что приводит к бесконечностям и неопределенностям.
Плюс у них могут еще быть непостоянные коэффициенты, то есть на одной части графика он может вести себя одним образом а на другой иначе. Что еще увеличивает сложность процесса. Ну то есть уравнение может быть решаемо в некоторых частях, а в других нет.

12) Основы евклидовой геометрии
Окей, геометрия пошла.
Точки, расстояния, прямые, отрезки, параллельные, перпендикулярные, углы, ломанные линии, замкнутые линии, фигуры, радиусы, площади, объемы, касательные, периметры, окружности. Пока нет чисто кривых.

Далее тригонометрические функции углов.

Далее системы координат, переведение фигур из одной в другую. Пространства с разными измерениями. Декартовы координаты. Школьный базис.

13) Геометрия на плоскости
Отображение точек векторами (вектор направлен от центра координат к точке). Далее уже с этими векторами можно делать что угодно.
Вычисление площадей многоугольников, все это уже тригонометрия.
Кривые на плоскости, во началась, т.к. это уже пошло дифференциальное исчисление в геометрии. Фактически кривая задается дифференциальным уравнением.

14) Геометрия в трехмерном пространстве
Все тоже самое что на плоскости, но не в квадрате а в кубе, уравнения третьих порядков, где начинаются уже нерешаемые части геометрии.

15) Дифференциальная геометрия
Вычисление изломчатых кривых в трехмерном пространстве, и что еще хуже - фигур с кривыми сторонами, их площадей, объемов, обрезаний одних кривых фигур другими и тд.

16) Основы римановой геометрии
Далее неевклидовые кривые пространства. В некотором роде как такое пространство может быть представлена к примеру поверхность Земли, где паралелльные линии пересекаются на полюсе (и на самом деле не только на полюсе т.к. Земля не ровный круг).
Здесь уже криволинейные координаты и кривые векторы и все кривое и косое и все это надо считать.
Потом чтобы еще сильнее сломать мозг к каждой точке в неевклидовом пространстве подвешиваются параметры, получаются тензоры, и далее надо их ковариантно дифференцировать то есть в каждой точке есть несколько дифференциалов, влажность идет вверх а температура вниз, например.
Далее трехмерные (и любые) поверхности складываются в двумерные (и любые меньшего порядка) без потери информации так что получаются гиперповерхности.
Сами неевклидовые пространства тоже перекладываются на псевдоевклидовые, так чтобы на них работала обычная геометрия, что упрощает вычисления.
Неевклидовые пространства бывают относительно простые - ну просто искривленные, бывают более сложные закрученные. Собственно как известно гравитация искривляет пространства - то есть наше привычное пространство-время так же неевклидовое.

17) Теория вероятностей
Это все сильно-сильно отдельная от остальной математики олимпиада. Высчитывание вероятностей, зависимых друг от друга, независимых, матрицы вероятностей и распределения вероятностей по матрице (например на плоскости).

18) Элементы логики
Тоже отдельная олимпиада. Высказывания, доказательства, предикаты, следствия, математическая индукция. Этот раздел прекрасно изучается, даже если вообще больше никакой математики не знаешь.

Иии, все? Мне хочется мельком перебрать максимум разделов высшей математики. Не влезая вглубь, а просто примерно разбирая общий смысл.
Нужно наверное найти какой-то вот основательный большой многотомник и совсем мелком по нему пробежаться.
03:26 Основы математики: Квинтэссенция всех разделов в доступном изложении
ок го

1) Арифметика чисел
1.1) Целые числа
Ноль
Четыре базовые операции - сложение вычитание деление умножение
Скобки, больше меньше равно неравно
Ряды, действие на шаге ряда, номер шага в ряду (индекс)
Возведение в степень, корни
Четность нечетность, множители делители
Аксиомы и доказательства
Неизвестные

1.2) Рациональные числа
Добавляем в целым числам дробные - простые и десятичные, состоящие из числителя и знаменателя - получаем рациональные числа.
Целая и дробная часть числа.
Числа в периоде
Отрицательные числа
Множества, подмножества, правило применимое ко всем числам множества
Добавляем алгебраические числа - любые числа, которые можно задать уравнением

1.3) Действительные числа
Добавляем числа, которые невозможно описать даже дробью и уравнением, однако можно сказать больше они или меньше любых других чисел.
Разложение числа в непрерывную дробь (где в каждом знаменателе рекурсивно еще один такой же знаменатель до бесконечности).
Если действительное число не алгебраическое - оно называется трансцендентным

1.4) Комплексные числа
Добавляем мнимую единицу - условное несуществующее число, которое в квадрате дает -1.
Добавление мнимой единицы к действительному числу (а так же любое действие с мнимой единицей) - превращает любое число в комплексное.

2) Матанализ
Добавляем бесконечно малые и бесконечно большие числа
Так и саму бесконечность
Модуль (ака абсолютное значение)
Интервал, полуинтервал (читай прерывистый интервал), закрытый интервал (отрезок) - вариации множеств
Счетные множества (где все числа можно пронумеровать) и несчетные (где бесконечно чисел).
Положительные и отрицательные множества
Последовательные множества - заданные формулой

2.1) Последовательность и предел
Если у последовательности есть предел (даже если этот предел бесконечность) она сходится, иначе - расходится

2.2) Функции
Это правило, чтобы получить из одного числа другое.
Число _из_ которого получают другое - называется независимой переменной.
Которое получают методом функции - зависимой.
Область функции (множество, внутри которого она работает).
Функция может быть неявной - если точно не написано в чем она состоит.
Если функция дает один результат - она однозначна, иначе многозначна
Так же есть четные и нечетные (меняет ли знак числа функция, если умножить на -1 саму функцию).
Обратная функция - позволяет наоборот получить из зависимой переменной независимую
Если функция с некоторым периодом выдает одни и те же значения - она периодическая
Если задается в алгебраической форме - она алгебраическая
Элементарные функции - алгебраические плюс тригонометрические (см позже) и показательные (функция ряда)
Экстремумы (перегибы) функции.

Если функцию нарисовать будет график, на нем координаты, оси абсцисс и ординат
Если график это непрерывная линия, значит функция непрерывна. Так же она может быть непрерывна на множестве, или даже равномерно непрерывна

2.3) Дифференциалы
Скорость изменения функции (насколько быстро число растет или уменьшается) - дифференциал
Дифференциал функции в том или ином месте графика - ее производная
Если на графике в этом месте излом, то у него есть производная слева и справа.
Производная на части функции - частная производная
Если мы находим все производные во всех частях функции - мы ее продифференцировали.
Если эти производные складываются в единое правило (новую функцию или просто в число) - она(оно) называется полным дифференциалом.
Функция может быть не дифференцируемой.

2.4) Интегралы
Интеграл это дифференциал наоборот. Если у нас есть правило (функция) следуя которому мы понимаем как растет (уменьшается) значение другой функции, то нахождение этой второй (первообразной) функции - интегрирование первой.
Интеграл может быть неопределенным, если ему соответствует набор функций.
Функция может быть интегрируема только на отрезке.

3) Основы общей алгебры
Это уже все действия (операции) не с числами, а с абстрактными неизвестными (объектами). Которые выражаются через отношения.

3.1) Основные понятия
Объекты алгебры могут быть не обязательно числами. Это могут быть множества, графики, функции, что угодно.
Если объекты связаны операцией - они бинарны.
Могут быть равны друг другу - рефлексивны.
Симметричны (тоже фактически равны). И транзитны (тоже равны, но равенство получается через набор операций).
Если один набор абстрактных объектов можно сопоставить с другим - это значит между ними гомоформизм.
Если они взаимно сопоставимы - изоморфизм. Тогда можно заменить одну на другую без оглядки.
В зависимости от того больше или меньше друг друга абстрактные элементы в наборе - они могут быть полностью или частично упорядочены.
Набор операций над объектами - называется моделью.
Если условные элементы внутри модели нельзя менять местами (с сохранением результата) она замкнутая (безусловная, всеобщая), если можно - коммутативная (перестановочная), если можно еще и из скобок вынимать - ассоциативная.
Операция между объектами может быть не задана - она может быть абстрактной

3.2) Модели с двумя и более операциями
Если перемножение объектов дает ноль - их называют левым и правым делителями ноля.
Если операции между объектами аналогичны базовым четырем (сложению, делению и т.д.) - то объекты называются кольцом (грубо говоря это просто числа значит, хотя мы и не знаем какие).
В кольце может быть объект, который есть, но при этом не меняет другие объекты - он называется единицей (при этом единицей может не являться). А кольцо с ним - кольцом с единицей.
Если операции между объектами дают единицу - объекты называются левым обратным элементом и правым.
Если все объекты модели можно превратить в единицу - эти объекты называется полем.
Элементарная алгебра сама по себе это модель разнообразных полей.

3.3) Булевая алгебра
Добавляет к базовой алгебре следующие свойства:
Если и сложение и умножение объекта самого на себя дает этот же объект - это называется импотентностью.
Если сложение ab=b и к тому же a+b=a - они совместимы.
Если для каждого а есть c, перемножение которых дает ноль, а сложение не дает, это с называется дополнением.

Так же добавляются операции "или" и "и", "истина" и "ложь". То есть уже элементы программирования.
Короче булевая алгебра стоит где-то посередине между математикой и логикой.

4) Элементарная алгебра
В ней объекты могут быть только числами.

4.1) Основные формулы и обозначения
Факториал - перемноженный ряд простых чисел
Биноминальные коэффициенты - хитрым способом перемноженные факториалы
Одночлен - число перемноженное с переменными
Сумма одночленов - многочлен
Если менять элементы многочлена и его знак не меняется - он симметрический.
Если переменные расставить в строки и столбцы, таким образом чтобы математически можно было определить элемент в нужной ячейке - это квадратная матрица. Может быть так же кубическая и матрица любого порядка. Фактически одномерная матрица это ряд, а "нульмерная" - число.
Определенным способом вычеркивая строки из матрицы можно получить ее упрощенную вариацию - минор и далее до одного числа - определителя.

Так. И на этом пока остановлюсь.
Я такими книжками как-то вентилирую мозг.
Закрыть