Поправка.

В условии задачи написано, что сначала Ахиллес пробегает до места где черепаха стояла. Потом черепаха делает свои шаги. Потом снова Ахиллес, потом снова черепаха. То есть как в походовых стратегиях.

Между ними тысяча шагов. Ахиллес их пробегает за минуту (предположим). Черепаха за это время делает сто шагов. Прошедшее время: 1 минута

Ахиллес пробегает сто шагов до черепахи. Черепаха делает ещё десять шагов. Прошедшее время: 1,1 мин.
Ахиллес - десять шагов. Черепаха - шаг. Время: 1,11 мин.
Ахиллес - шаг. Черепаха - десятую часть шага. Время: 1,111 мин.
Ахиллес - десятую часть шага. Черепаха - сотую часть шага. Время: 1,1111 мин.
И т.д. Каждый этап вычисления добавляет ещё одну единицу после запятой.
Сколько таких единиц? Бесконечно.

Однако правильный ответ всё тот же: Ахиллес догонит черепаху через 1, (1) минут. (Одна минута и единица в периоде.)

Можно ли написать это число если ты древний грек, считаешь римскими цифрами и периодических дробей у тебя нет?
Нельзя.

Может ли Ахиллес добежать до черепахи, если он постоянно добегает не до того места, где она стоит сейчас, а до места, где она стояла когда-то раньше?
Нет. Не может. И неважно, какая у него скорость.
Чтобы добежать до цели - нужно бежать до цели, а не до места находящегося между тобой и целью.