Простым языком, почему он случился:
Был дефицит бюджета. То есть есть налогов собиралось меньше, чем требовалось. Ваше любимое бесплатное образование, медицина, льготы, пенсии - не бесплатны.
Потому что ничего бесплатного не бывает. Деньги на них нужно собирать из налогов.

Решения очевидны:
1) Собирать больше налогов
Что в конце девяностых было практически нереально. Закон не работает, налоги никто не платит. У власти была семибанкирщина, которая скорее подкупала чиновников, чем платила налоги. И никак на них повлиять было нереально - так как они были у власти, у них была пресса, у них была мафия, все на свете у них было. И на страну им было наплевать.
Более того - ослабление правительства им было на руку, они ждали, пока страна навернется сильнее, чтобы создать марионеточные власти (чего успешно и добились, кооператив Озеро это оно есть, когда кучка олигархов все решает, а все кому это не нравится - агенты госдепа и враги народа).

2) Тратить меньше бюджета
Что тоже в той ситуации было нереально, потому что для сокращения расходов правительству требовалось принять соответствующие законы. И эти законы должен был утвердить парламент. А большинство мест в парламенте - занимали коммунисты, которые были категорически против сокращения пенсий, бюджетных зарплат, льгот и прочей социалки. Какбы понятно, что для коммунистов это ключевой вопрос.
Но что значительно важнее - коммунисты того времени были готовы грохнуть всю страну ради того, чтобы свалить Ельцина, которого по очевидной причине ненавидели. Поэтому они намеренно не пропускали законы, позволяющие ельцинскому правительству выправить ситуацию. Они надеялись, что ситуация станет настолько плохой, что можно будет объявить президенту импичмент и на этом привести к власти своего кандидата, того который Зюганов.
Плюс, как вы понимаете, народ смотрел на любые сокращения бюджета тоже крайне отрицательно, по мнению населения деньги берутся из воздуха.

3) Занять
У кого? Можно было занять деньги у других стран. И правительство это постоянно делало. Таким образом госдолг России рос. Но сам по себе госдолг это не страшная проблема, как мы знаем на примере тех же США - с гигантским внешним долгом можно прекрасно жить и ус не дуть. Проблема - если деньги тебе нужны, а в долг их тебе давать перестают. Что и случилось в 1998 году. Почему? Потому что начиная с середины 1997 года в азии грянул свой экономический кризис, и международный валютный фонд (у которого брала в долг Россия) заявил, что у него сейчас более крупные проблемы. И больше денег он не даст.

Еще можно брать деньги в долг у своих же граждан. Вопрос, что давать взамен? Родному государству наши граждане особо не верили никогда, и правильно делали. Очень сложно брать деньги в долг у тех, кто прекрасно знает, что ты его кинешь при первой возможности. И тогда светлые умы в правительстве РФ изобрели (украли у Мавроди) идею ГКО - суть которой была в том, что правительство обещало огромные проценты по вкладам и очень быстро. Подразумевалось, что да - мы вас всех кинем, но если вы успеете выскочить перед этим - хорошо заработаете.
Короче это была финансовая пирамида. Которая, как и все прочие финансовые пирамиды в мире - прекрасно жила до какого-то момента, после чего стремительно схлопывалась. О чем все (крупные вкладчики) прекрасно знали и воспринимали происходящее как игру в рулетку.

Суть игры с пирамидами в том, что ты быстро-быстро вкидываешь деньги и надеешься их выдернуть назад до того, как пирамида рухнет. В доказательство того, что ничего не развалится - правительство приводило главный аргумент, что дескать все в порядке, МВФ (читай - мировое сообщество) россиюшку не бросит, и в худшем случае денег даст.
А оно, как я написал выше - в какой-то момент показало хуй (на что имело полное право есличо). Что мгновенно спровоцировало панику, то есть вкладчики ГКО сразу как поняли, что их никто не прикроет - побежали снимать деньги. Которых естественно у финансовой пирамиды не было. И правительство вынуждено был заявить, что оно всех кидает. Оно не вернет деньги ни МВФ ни гражданам, никому. Это называется дефолтом - внешним и внутренним одновременно. Отказом от выполнения обязательств. (По внешним долгам РФ в результате расплатилась, но уже значительно позже.)

Ситуацию усугубило то, что первым, кто побежал обналичивать свои ГКО был - вы будете смеяться - Сбербанк.

Но этого мало. Еще свалились нефтяные цены.
А так же на волне паники упали вообще любые инвестиции в РФ, которые в девяностые были крайне серьезные (это в порядке вещей для стран догоняющего развития, они всегда быстро растут, и значит в них можно быстро вбросить деньги и выйти с хорошей прибылью, ровно поэтому Китай сейчас так яростно инвестирует в Африку, к примеру). Понятно, что если страна сваливается в кризис - инвестировать в нее никто не хочет, все ждут, пока она стабилизуется и снова пойдет в рост.

Но и этого мало - потому что правительство России искусственно держало курс доллара (что совершенно нормальное правильное поведение), то есть при скачках курса торговало себе в убыток, таким образом не позволяя курсу свалиться в штопор. Для страны, живущей на импорте (которой была Россия в девяностых, да и сейчас не так много изменилось) - это было категорически важно.
Проблема в том, что торговать себе в убыток ты можешь только тогда, когда у тебя есть лишние деньги. А они - закончились (см дефолт).

В результате мы получили:
Панику внутри страны из-за краха гко
+панику в мире из-за азиатского кризиса
+деструктивные действия собственного парламента
+деструктивные действия собственного бизнеса
+категорическое непонимание народа что блин вообще происходит и кто в этом виноват (читай - деструктивные действия собственного народа, который хотел магически платить налоги как в демократии, а жить как в коммунизме)
+невозможность собирать налоги, невозможность заставить законы работать.
+невозможность финансового блока правительства как-то смягчить удар
+падение цен на нефть
+падение инвестиций
Все вместе и одновременно.

При этом хотя удар был и страшным, он был нанесен одновременно со всех сторон - кризис 98 года был не сравним с позднеперестроечным, или скажем с великой депрессией. То есть само по себе стремительное объявление дефолта - было верным решением. У правительства были возможности нанести значительно больше вреда населению, пытаясь продолжать оттягивать конец (как это делал СССР например).
Сказалось в первую очередь то, что Россия оставалась страной догоняющего развития как минимум до середины нулевых, и сам ее естественный потенциал перекрывал любые кризисы. Сама прибыль от естественно роста была настолько большой - что в РФ вкладывали деньги даже не смотря на все ее проблемы (см Африка). Прибыль все перебивала.