Известно, что теория игр рассматривает различные стратегии первого и второго игрока, позволяя найти так называемое равновесие Нэша, и рассчитать цену игру, если каждый из игроков играет рационально, пытаясь делать лучшие для него ходы. Если игроков больше двух, то такой понятной и простой теории игр уже нет. Два игрока, делая согласованные ходы, всегда победят третьего игрока при более или менее равных условиях. Единственное, что третий игрок скорее всего может определить, кто именно победит: первый или второй игрок.
Известна задача о "разборчивой невесте" Фридмана и связанная с ней задача оптимального выбора. Вкратце ее можно описать так. Именно N карточек, на которых написаны различные действительные числа, или по-крайней мере однородные числа, среди которых так или иначе можно выбрать наибольшее число. Было бы странно сравнивать между собой мнимую единицу и единицу, трудно сказать, какая из них больше. Карточки перевёрнуты. Игрок по очереди открывает карточки, и каждый раз делает выбор: либо прекращает игру, получая в качестве вознаграждения число на последней открытой карточке. При чем он побеждает игру, если его число самое большое среди всех карточек, и проигрывает, если это не так. Игрок также может отложить карточку и открыть следующую. Оптимальная стратегия для игрока - это открыть qrt(N), и далее выбрать карточку, которая больше всех открытых карточек.
Игру можно попытаться расширить на двух человек. Карточек должно быть 2k. Каждый игрок берет карточку по очереди. Каждый игрок считает сумму, взятых им k - карт.
Если карточки открыты, то цена игры очевидна. Предположим, что есть 10 карточек на которых написаны числа от 1 до 10. Тогда первый игрок возьмёт в идеале числа 10, 8, 6, 4 и 2, а второй игрок - очевидно 9, 7, 5, 3, 1. То есть первый игрок выигрывает со счётом 30:25 (что похоже с задачей по взвешиванию монет).
Но давайте сделаем так, что карточки закрыты, и каждый игрок, открывая карточку может взять ее себе или положить в закрытую обратно, и передать право пытаться взять карточку сопернику. Если у любого игрока взято k карт, то оставшиеся карты сразу отходят другому игроку.
Рассмотрим почти минимальный случай: четыре карточки - 1, 2, 3, 4.
Первый игрок, открывая для себя 4 берет ее однозначно. Открывая 1, он безусловно возвращает ее на поле. Он может оставить себе 3 с вероятностью 2/3 и 2 с вероятностью 1/3. Но для второго игрока очевидно, что возвращения карта не 4 и брать её следующим ходом не имеет смысла. Можете ли рассказать что-либо об оптимальных стратегиях первого и второго игрока?
Более практично я предлагаю сыграть в такой вариант игры. Из 10 карточек с числами от 1 до 10 вы случайным образом, не открывая их удаляете из игры 2 карточки. С оставшимися 8 картами попробуйте сыграть с закрытую. Является ли цена игры случайной величиной, или есть некоторая оптимальная стратегия для первого игрока?
Если вы дали ответ на оба вопроса, то давайте двинемся дальше. Очевидно, что сумма чисел - это самая простая функция для подсчёта победных баллов.
Пусть на карточках будут обозначены следующие функции (карточки учитываются в указанном порядке):
1) Красная карточка даёт 4 очка. Ее необходимо сбросить, если у игрока нет других красных карточек.
2) Красная карточка даёт 2 очка. Ее необходимо сбросить, если у игрока нет других красных карточек.
3) Красная карточка даёт 0 очков. Ее необходимо сбросить, если у игрока нет других красных карточек.
4) Зелёная карточка даёт 4 очка. Ее надо передать игроку, в которого нет ни одной красной карточки.
5) Синяя карточка даёт 3 очка. Если нет другой синей карточки, то обменяться синей карточкой с другим игроком. Если уже менялись синими карточками, то ничего не делать.
6) Синяя карточка даёт 5 очков. Если нет другой синей карточки, то обменяться синей карточкой с другим игроком. Если уже менялись синими карточками, то ничего не делать.
7) Жёлтая карточка даёт 1 очко. Если нет другой желтой карточки, то обменять на жёлтую карточку у другого игрока.
8) Жёлтая карточка даёт 4 очка. Ее необходимо сбросить, если нет другой желтой карточки. Если получена в ходе обмена, то ничего не делать.
Предположим, что игроки, открывая карточки по-очереди, всегда выбирали оставить карточки себе, и тогда после седьмого выбора (восьмая карточка автоматически отходит ко второму игроку) у игроков могли оказаться на руках такие карточки: у первого игрока 2, 3, 4, 8, а у второго - 1, 5, 6, 7.
Действия карточек до подсчёта очков происходит по номерам.
Второй игрок сбрасывает карточку 1, так как у него нет других красных карточек: 6, 5, 7.
Первый игрок оставляет себе карточки 2 и 3, так как они красные, и пока получает 2 очка.
Первый игрок передает второму игроку карточку 4, так как у второго игрока нет красных карточек. Второй игрок: 4 очка (4) и карточки 6, 5, 7, первый игрок: 2 очка (2, 3) и карточка 8.
Так оба синих карточки у второго игрока, то он получает за них 8 баллов. Первый игрок: 2 очка (2, 3) и 8, второй - 12 очков (4, 5, 6) и 7.
Второй игрок меняет жёлтую карточку 7 на желтую карточку 8 первого игрока, и получает ещё 4 очка. Второй игрок: 16 очков (4, 5, 6, 8). Первый игрок добавляет себе только один балл, так как действие 7 карточки уже было выполнено. Первый игрок: 3 балла (2, 3, 7).
То есть второй игрок выиграл с разгромным счётом 16:3, а значит первый игрок крайне опрометчиво брал любую открывшуюся ему карточку. Есть ли у первого игрока оптимальная стратегия принятия решения брать или оставлять карточку в закрытую?
Теперь, чтобы избежать обвинений в случайной природе данной игры (а точнее вероятностной), сыграем эту игру в открытую, то есть каждый игрок знает какие карточки лежат перед ним и какие карточки уже взял его оппонент. Игра с полностью открытой информацией, значит она является строго математической и стратегической. Опишите выигрышную стратегию первого игрока и определите цену игры.
Состояние: креативное
1.Как составить идеальное р...
[Print]
nePu6kin