ок го

1) Арифметика чисел
1.1) Целые числа
Ноль
Четыре базовые операции - сложение вычитание деление умножение
Скобки, больше меньше равно неравно
Ряды, действие на шаге ряда, номер шага в ряду (индекс)
Возведение в степень, корни
Четность нечетность, множители делители
Аксиомы и доказательства
Неизвестные

1.2) Рациональные числа
Добавляем в целым числам дробные - простые и десятичные, состоящие из числителя и знаменателя - получаем рациональные числа.
Целая и дробная часть числа.
Числа в периоде
Отрицательные числа
Множества, подмножества, правило применимое ко всем числам множества
Добавляем алгебраические числа - любые числа, которые можно задать уравнением

1.3) Действительные числа
Добавляем числа, которые невозможно описать даже дробью и уравнением, однако можно сказать больше они или меньше любых других чисел.
Разложение числа в непрерывную дробь (где в каждом знаменателе рекурсивно еще один такой же знаменатель до бесконечности).
Если действительное число не алгебраическое - оно называется трансцендентным

1.4) Комплексные числа
Добавляем мнимую единицу - условное несуществующее число, которое в квадрате дает -1.
Добавление мнимой единицы к действительному числу (а так же любое действие с мнимой единицей) - превращает любое число в комплексное.

2) Матанализ
Добавляем бесконечно малые и бесконечно большие числа
Так и саму бесконечность
Модуль (ака абсолютное значение)
Интервал, полуинтервал (читай прерывистый интервал), закрытый интервал (отрезок) - вариации множеств
Счетные множества (где все числа можно пронумеровать) и несчетные (где бесконечно чисел).
Положительные и отрицательные множества
Последовательные множества - заданные формулой

2.1) Последовательность и предел
Если у последовательности есть предел (даже если этот предел бесконечность) она сходится, иначе - расходится

2.2) Функции
Это правило, чтобы получить из одного числа другое.
Число _из_ которого получают другое - называется независимой переменной.
Которое получают методом функции - зависимой.
Область функции (множество, внутри которого она работает).
Функция может быть неявной - если точно не написано в чем она состоит.
Если функция дает один результат - она однозначна, иначе многозначна
Так же есть четные и нечетные (меняет ли знак числа функция, если умножить на -1 саму функцию).
Обратная функция - позволяет наоборот получить из зависимой переменной независимую
Если функция с некоторым периодом выдает одни и те же значения - она периодическая
Если задается в алгебраической форме - она алгебраическая
Элементарные функции - алгебраические плюс тригонометрические (см позже) и показательные (функция ряда)
Экстремумы (перегибы) функции.

Если функцию нарисовать будет график, на нем координаты, оси абсцисс и ординат
Если график это непрерывная линия, значит функция непрерывна. Так же она может быть непрерывна на множестве, или даже равномерно непрерывна

2.3) Дифференциалы
Скорость изменения функции (насколько быстро число растет или уменьшается) - дифференциал
Дифференциал функции в том или ином месте графика - ее производная
Если на графике в этом месте излом, то у него есть производная слева и справа.
Производная на части функции - частная производная
Если мы находим все производные во всех частях функции - мы ее продифференцировали.
Если эти производные складываются в единое правило (новую функцию или просто в число) - она(оно) называется полным дифференциалом.
Функция может быть не дифференцируемой.

2.4) Интегралы
Интеграл это дифференциал наоборот. Если у нас есть правило (функция) следуя которому мы понимаем как растет (уменьшается) значение другой функции, то нахождение этой второй (первообразной) функции - интегрирование первой.
Интеграл может быть неопределенным, если ему соответствует набор функций.
Функция может быть интегрируема только на отрезке.

3) Основы общей алгебры
Это уже все действия (операции) не с числами, а с абстрактными неизвестными (объектами). Которые выражаются через отношения.

3.1) Основные понятия
Объекты алгебры могут быть не обязательно числами. Это могут быть множества, графики, функции, что угодно.
Если объекты связаны операцией - они бинарны.
Могут быть равны друг другу - рефлексивны.
Симметричны (тоже фактически равны). И транзитны (тоже равны, но равенство получается через набор операций).
Если один набор абстрактных объектов можно сопоставить с другим - это значит между ними гомоформизм.
Если они взаимно сопоставимы - изоморфизм. Тогда можно заменить одну на другую без оглядки.
В зависимости от того больше или меньше друг друга абстрактные элементы в наборе - они могут быть полностью или частично упорядочены.
Набор операций над объектами - называется моделью.
Если условные элементы внутри модели нельзя менять местами (с сохранением результата) она замкнутая (безусловная, всеобщая), если можно - коммутативная (перестановочная), если можно еще и из скобок вынимать - ассоциативная.
Операция между объектами может быть не задана - она может быть абстрактной

3.2) Модели с двумя и более операциями
Если перемножение объектов дает ноль - их называют левым и правым делителями ноля.
Если операции между объектами аналогичны базовым четырем (сложению, делению и т.д.) - то объекты называются кольцом (грубо говоря это просто числа значит, хотя мы и не знаем какие).
В кольце может быть объект, который есть, но при этом не меняет другие объекты - он называется единицей (при этом единицей может не являться). А кольцо с ним - кольцом с единицей.
Если операции между объектами дают единицу - объекты называются левым обратным элементом и правым.
Если все объекты модели можно превратить в единицу - эти объекты называется полем.
Элементарная алгебра сама по себе это модель разнообразных полей.

3.3) Булевая алгебра
Добавляет к базовой алгебре следующие свойства:
Если и сложение и умножение объекта самого на себя дает этот же объект - это называется импотентностью.
Если сложение ab=b и к тому же a+b=a - они совместимы.
Если для каждого а есть c, перемножение которых дает ноль, а сложение не дает, это с называется дополнением.

Так же добавляются операции "или" и "и", "истина" и "ложь". То есть уже элементы программирования.
Короче булевая алгебра стоит где-то посередине между математикой и логикой.

4) Элементарная алгебра
В ней объекты могут быть только числами.

4.1) Основные формулы и обозначения
Факториал - перемноженный ряд простых чисел
Биноминальные коэффициенты - хитрым способом перемноженные факториалы
Одночлен - число перемноженное с переменными
Сумма одночленов - многочлен
Если менять элементы многочлена и его знак не меняется - он симметрический.
Если переменные расставить в строки и столбцы, таким образом чтобы математически можно было определить элемент в нужной ячейке - это квадратная матрица. Может быть так же кубическая и матрица любого порядка. Фактически одномерная матрица это ряд, а "нульмерная" - число.
Определенным способом вычеркивая строки из матрицы можно получить ее упрощенную вариацию - минор и далее до одного числа - определителя.

Так. И на этом пока остановлюсь.
Я такими книжками как-то вентилирую мозг.