Фасмер о мяте пишет так:
мя́та
укр. м᾽я́та, русск.-цслав. мята ἡδύοσμος, болг. ме́тва, сербохорв. ме̏тва, словен. mȇtva. чеш. máta, слвц. mäta, польск. mięta, в.-луж., н.-луж. mjatej.
Заимств. из лат. mentha от греч. μίνθη; судя по форме *męty, к которой восходят слова на -vа, возм., через герм. посредство (гот. *mintа (?), англос. minte, д.-в.-нем. minza)... Непосредственное происхождение из греч. μίνθη ввиду зап.-слав. форм весьма невероятно, вопреки Фасмеру (Гр.-сл. эт. 132), Кипарскому (125 и сл.); см. Преобр. I, 585; Бернекер, там же. Греч. слово средиземноморского происхождения; см. Мейе, МSL 15, 162; Буазак 639.

Понятно между строк, что сведение слова мята к слову мять (мятая листва мяты сильно пахнет), предполагается наивно-народноэтимологическим.
О слове мятый написано весьма мало:
Из *мѧтъ, ср. лит. mìntas, лтш. mĩts "истоптанный"; см. Траутман, ВSW 185. От мну, мять.
Лит. minti имеет значения: 1) топтать, 2) помнить, 3) загадывать - отгадывать, 4) мять.
Отсюда в качестве побочного продукта имеем: мять родственно мнить, то есть память неспроста созвучна мять.

Фасмер о словах мну, мять:
мнёшь, инф. мять, укр. мну, м᾽я́ти, мня́ти, цслав. мьнѫ, мѧти, болг. мъ́на "мну" (Младенов 310), словен. méti, mánem "тереть", др.-чеш. mnu, mieti, слвц. mnem, mät᾽, польск. mnę, miąć "давить, мять". Ср. также гумно́.
Родственно лит. mìnti, minù "топтать", лтш. minu, mĩnu, mĩt – то же, лит. mynė̃ "трепанье льна", лтш. mīnе "место, где месят глину", mĩnât итер. "топтать", др.-прусск. myniх "дубильщик, кожевник", лит. minìkas "тот, кто топчет", др.-инд. вед. carmamnā "кожемяка", греч. ματεῖ ̇πατεῖ (Гесихий), эол. μάτεισαι "попирающие ногами" (Сафо), ирл. mеn "мука", кимр. mathr "рrосulсаtiо" (*mantro-).

Сопоставим попарно корни славянских слов со значениями "мять" и "мята":
укр. м᾽я́ти, словен. méti, слвц. mät᾽, польск. miąć
укр. м᾽я́та, словен. mȇtva, слвц. mäta, польск. mięta
Различия, на мой взгляд, невелики: в словенских корнях вид ударения поменялся с циркумфлекс на акут (как в ре̣̑st "пясть" / ре̣̑t "пять" и рẹ́tа "пята"), в польских - произошло чередование ą > ę, как в krąg "круг" > kręgu "круга".

Напрашивается предположение об обратном направлении заимствования: от слав. к греч. В древнегреческом нет родственных к μίνθη / μίνθος, то есть быть мятой в Греции ничего не значит, а в славянских у мяты есть кандидат: мять и т.д. То есть у славян быть мятой значит быть помятой
Латинское слово заимствовано из греч., что видно по версии mentha с θ > th. Древнегреческое μίνθη, возможно, имеет литовского посредника minti в своей родословной.

А медь относится к мягкий, как наледь к лягу, но тут ещё надо повозиться.