Справедливости ради дальше книга поясняет что да, в матане полно костылей, наиная от прямых запретов на те или иные операции, просто нельзя и все, и кончая законами которые есть просто потому что так надо. Но они введены чтобы общий механизм работал и не вызывал парадоксов, короче это фиксы баланса.
Ну окей, я чо, я чисто посмотреть зашел.
Собстно это смысл допущений и лемм.

Еще поясняется интересная идея касательно иррациональных чисел. Говорится к примеру что мы не можем сказать где конкретно это число находится, но зато можем сказать какие числа его больше, а какие меньше. То есть да мы не можем использовать это число без приближений, но можем использовать его к примеру как разделитель для множеств.

Далее идет принцип Кантора, который фактически придает точкам размер. То есть к примеру позволяет считать что число 3 это не сама тройка, а условные числа, приближающиеся к тройке с одной из сторон, с какой требуется в данном случае. При этом тройка условно отсутствует в общем множестве, разделенном тройкой на две части. Есть числа приближающиеся к ней с одной стороны и есть числа приближающиеся к ней с другой, а самой тройки условно не существует, иначе она породила бы третье множество, а нам только два нужны.
Пишут что этот принцип спас тонну седалищ от пригорания. Ну мне пофиг спас так спас.

Описывается что математическая индукция это когда ты не знаешь ответа, но приближаешься к нему и в процессе приближения понимаешь к чему все идет. И хотя доказательства своей правоты у тебя нет, ты все равно приходишь к этому выводу индукцией. (Что я в целом знал но забыл.) К примеру что будет если сложить 1/2+1/3+1/4+... и тд до бесконечности. В целом хер его знает, но методом индукции мы видим что это будет некое число очень близко к единице. Это же выводится и геометрически, у нас получится парабола, приближающаяся к единице. Геометрическая индукция так? Мне лень гуглить. Короче это брутфорс.
Жалко в базовой не высшей математике индукция почти не используется и считается читерством. (Или я забыл уже.) Очень многие задачи значительно проще решаются подстановкой и перебором.

Далее функции. Ну это базовая тема программинга ее я знаю.

О горячий суп наварили
О Великий суп наварили
О шикарный суп заварили
О Великий суп заварили
О шикарный суп заврили
О Великий суп заварили

Суп , горячий суп
Ешь суп , горячий суп
Шик суп , ешь суп , горячий суп

Я давно ищу курс высшей математики максимально дружелюбный на границе с научпопом. Понятно что совсем вот влегкую эта наука не берется, но большинство учебников по ней написаны с расчетом, что рядом будет еще кто-то у кого ты сможешь консультироваться. Я люблю когда рядом с уравнением описано, зачем оно было открыто, как к нему приходили, как доказывали. Тогда у меня в голове складывается, что с ним делать. Короче посмотрим что тут у нас.

Так и первая глава рассказывает про множества, и сразу же касается темы, которая каждый раз ломает мне мозг - эквивалентность бесконечных множеств. Предположим есть множество натуральных чисел х 1,2,3,4,5...итд. И множество четных y 2,4,6,8,10итд (разве не логичнее называть их "рядами"? ну ок, я в курсе что ряды это другое)

Оба множества бесконечные, очевидно. При этом математики считают что они еще и равные, для чего есть метод эквивалентности x->2y ну то есть любое число из первого соответствует удвоенному числу из второго.
При этом очевидно что все числа из второго находятся внутри первого, но не наоборот, к примеру число 3 есть в первом, но его нет во втором. То есть одно множество является частью другого и при этом одновременно равно ему. Часть равна целому.

И ну окей, предположим что так. Одно бесконечное и второе бесконечное, одна бесконечность равна другой, внутри бесконечности бесконечность бесконечностей ехал гитлер через гитлер смотрит гитлер в реке гитлер. Но при этом в математике считается, что если принцип эквивалентности не соблюдается, то бесконечные множества уже нельзя считать равными. К примеру если одно - множество натуральных чисел 12345 итд, а второе множество простых 2,3,5,7,11,13 то они уже не равны. При том что они тоже оба бесконечные, но теперь нельзя придумать правила которое бы переводило любое число одного в любое число другого. И значит теперь одна бесконечность другой не равна.

Я вот вообще этого не понимаю. Я вижу их ячейками массива. Вот у нас бесконечный массив. В нем бесконечное количество ячеек. Какая нахрен разница что в этих ячейках, натуральные числа или простые или степени тройки или буквы или зацикленные записи моего блога или любая белиберда. Нет никакой разницы, это всегда массив одного и того же размера.

Но окей хорошо. Я с правилом эквивалентности не согласен, но я могу его принять как условное правило игры. Условно ферзь сильнее пешки, таково правило, принимай или уебывай. Ну ок ок. Иду дальше.

Если понять, что Ахиллес обгонит черепаху, но мы точно не можем сказать, в какой момент он ее обгонит т.к. там число в периоде. Что конечно не означает, что факта обгона не произойдет.

Этот парадокс можно понять, если знать учение его автора Зенона и вообще отношение древних греков к бесконечно малым и бесконечно большим числам. А именно - греки вообще эти числа либо отрицали либо считали что они означают ошибку в расчетах. Что приводило к другим парадоксальным выводам. К примеру, что если разделить веревку надвое, а потом еще раз, и так делить до бесконечности.

По идее греков - это приводило к бесконечному числу бесконечно малых кусочков. А значит если бесконечно малый кусочек это ноль (а как иначе) то веревки не существует. А если он не ноль - то бесконечное количество не нулевых кусочков делает веревку бесконечно длинной.
Ну либо она неделима.