Пошли по исламистам.

Главный след в математике оставленный арабами, это конечно изображения цифр, которыми мы пользуемся до сих пор. Эта нумерация не только десятичная, но и позиционная, когда каждый символ единственный соответствует числу внутри своей степени и любые числа удобно складываются внутри любых. Математика с введением этой системы упростилась на порядки.
Система создана в шестом веке и впервые описана Мухаммадом Аль-Хорезми. За основу он берет индийский счет и несколько совершенствует. Само имя Аль-Хорезми в европейских языках трансформировалось в "алхоритмус" а потом в "алгоритм", и изначально так называлась вообще вся арифметика с арабскими цифрами. Так что да, слово "алгоритм" происходит от фамилии создателя арабских цифр.

Значки к арабским числам нарастают постепенно. Разделительная черта для простых дробей - только к 13 веку. Но десятичные дроби - уже в десятом веке. Основная проблема тут долго была в том, что со времен античности в дробной части традиционно использовалась шестидесятиричная система (напомню она до сих пор используется в градусах), и она плохо стыковалась с десятиричным арабским написанием.
При этом десятиричные дроби давно уже действовали в Китае (не замутненном шестидесятиричными извращениями), но толком не известно, взяли ли их арабы у китайцев или выдумали самостоятельно.

К одиннадцатому веку в систему добавляют извлечение корней, в том числе кубических. Между прочим разрабатывал эту теорию в том числе и Омар Хайям, то есть он далеко не только стихи писал.
Он впервые приводит всем известное: (а + b)2 = а2+ab+b2
За этим последовали уже возведения в любую степень и извлечения корней любой степени. Но уже к 13 веку. Арабы были неспешными с одной стороны, с другой, это все было не очень нужно на практике, какбы механики то особой не было.

Действия с корнями часто приводили к иррациональным числам (собственно извлечение почти любого корня приводит к иррациональному числу), поэтому арабы начали задумываться об их написании. Там в целом миллион ухищрений как написать иррациональное число, к примеру можно изобразить его простой дробью или цифрой в периоде, или выделить иррациональную часть из основания.
Возникает в принципе сама идея что любое отношение чисел это тоже число и можно использовать отношения и прочие костыли позволяющие написать ненаписуемое - вместо чисел.

Математика в арабском мире в первую очередь используется для налогообложения и долговой системы.

Хорезми вводит вообще современного вида алгебру и алгебраические преобразования. Математика еще дальше уходит в игры разума и превращается в перекидывание туда сюда "через равно" неизвестных в попытке представить их в такой форме, чтобы вычислить. До арабов ничего этого не было.

Алгебраические преобразования как раз крайне нужны для только что изобретенных уравнений высоких степеней и в только что изобретенных уравнениях с многими неизвестными. Именно Омар Хайам впервые отделяет алгебру от других веток математики.

Так же Хайам геометрически выражает уравнения высших степеней как графики с кривыми, параболами и гиперболами, где решение уравнения это точка пересечения линий. Таким образом начинается геометрия уравнений высших степеней. Символы квадратов и корней при этом появятся только в конце пятнадцатого века.
В принципе все это нужно для земледелия, особенно если поля странных форм и для архитектуры, нужно считать разные арки и прочие изогнутые конструкции.

Отдельно арабами развивается тригонометрия. Самые базовые вещи (идею синуса) они берут у индийцев и далее приставляют тригонометрию к своей арабской алгебре. Таким образом возникают косинусы, тангенсы и вся остальная мутотень, которой нас быссмысленно насиловали в одиннадцатом классе. Используется она для наблюдений за звездами каждому школьнику очень нужно в жизни.
Ну окей для рисования географических карт это тоже полезно, т.к. надо по солнцу определять свои точные широту и долготу, с gps у средневековых арабов как-то не задалось, приходилось вот считать тригонометрические уравнения.

С четырнадцатого века наука из исламских стран через Византию просачивается в католические и все больше и больше начинает влиять на западный мир. Такие слова как "алгебра" и "цифра" - тоже арабские.

Далее средневековая Европа.
Там конечно ученые не приветствовались, но соборы то кому-то нужно проектировать, причем желательно так, чтобы они не разваливались на головы молящимся, так что как минимум архитекторам что-то знать позволялось.

Приводятся забавные древнерусские обозначения: 10 в 3 степени (10-3) - тысяща. 10-6 - тьма. 10-12 - легеон. 10-24 - леодр. 10-48 - ворон. 10-49 - колода.

Первые вменяемые учебные заведения европы появляются в Италии в 14м веке и обучают математике торговцев и финансистов. Италия в то время одно из самых свободных в плане нравов мест с богатейшими городами-государствами. Школы там естественно частные. Там уже сразу обучают арабским числам и через финансистов этих школ арабский счет уже в 15м веке распространяется по монетам всей Европы, а оттуда - везде где можно.
С 11-12 веков европейцы постепенно отвоевывают у арабов территории, и вместе с землями получают и школы, трактаты - то есть знания.

В 11 веке основан древнейший университет (медицинский) в Салерно (Италия). Скоро начали появляться и юридические институты, а в 12-13 веках и Оксфорд с Кембриджем. Это уже широкоформатные институты в них изучают искусства, право, медицину и богословие. Как не сложно догадаться - самым престижным было богословское направление.
Математике обучали на факультете искусства, и это была вспомогательная дисциплина, чаще всего для тех, кому интересна астрономия. Первые факультеты, целиком основанные на математике появились в 15 веке. Но знания доносились самые базовые - только первые тома "Начал" что соответствует примерно пятому классу средней школы.

Первым систематизирует труды арабов в Европе Леонардо "Фибоначчи" Пизанский в 1202 году. Арабские цифры он называет индийскими (как и многие арабы тоже). Фибоначчи приводит задачу: "Сколько кроликов родится за год от одной пары, если каждая пара приносит в месяц по паре". Решается она рядом, где каждое число является суммой двух предыдущих и до сих пор называется "рядом Фибоначчи". Фибоначчи означает "сын Боначчи". То есть это отчество.

В университетах вырастают кадры грядущей эпохи возрождения. В первую очередь Бекон, который продвигает кощунственную идею, что наука должна быть экспериментальной. К временам возрождения (15-16 века) в руках европейских ученых уже полноценный и удобный математический аппарат, которые можно свободно надстраивать с разных сторон не оглядываясь ни на графическое отображение (или наоборот - пытаясь все в нем отобразить) ни на привязку к утилитарным задачам.

Николь Орем составляет формулы возведения в n-ную степень. Лука Пачоли (в том числе изобретающий двойную бухгалтерию) апгрейдит знаки умножений и степеней. Никола Шюке изучает прогрессии и уже вплотную подходит к логарифмам и постепенно приближает алгебраические знаки корней к современным. Джироламо Кардано вводит мнимые величины.

И на этом месте мне становится уже не интересно.

Лето - когда уже стало жарко, но еще не отключили отопление
Зима - когда уже стало холодно, но еще не включили отопление
Весна - все остальное время

- Рады видеть вас в нашем ресторане. Вам вайфай нужен?
- Нет спасибо я со своим.

Продолжим.

В Греции гражданам было доступно среднее образоване, и если они хотели получить высшее (по меркам своего времени) они собирались вокруг ближайшего философа и слушали его проповеди. Там работала академия Платона, а потом и ликей Аристотеля, но это были частные начинания.

Уже более продвинуто дела обстояли в империи Александра (-3 -2 века), где мало того что существовала известная Александрийская Библиотека, более того ученые субсидировались государством. Начальником мусейона (см музей) был Птолемей.
Империя объединила греческие попытки все обобщить и вавилонские таблицы всего на свете. Что лучше всего сказалось на астрономии - Гипархом была построена птолемеевая система мира. Архимед вовсю развивал статику. Евклид оптику. Эратосфен умудрился даже измерить размер Земли (он измеряет тени, отбрасываемые солнечными часами в разных городах в одно время дня и таким образом высчитывает кривизну планеты).

Евклид пишет "Начала" где задает евклидовую геометрию и алгебру. Это внушительный тринадцатитомник, где собраны и структурированы все базовые аксиомы, теоремы и доказательства науки. Фактически современные школьные учебники геометрии это пересказ евклидовых начал.
На многие века "Начала" становятся основным учебником для поколений математиков разных стран.

Второй основной ученый того времени это Архимед, который был по многом Да Винчи своего времени - он строил боевые машины, и главное его открытие - закон рычага, позволяющий малыми силами приводить в действие большие, что вообще говоря можно считать одним из начал механики. В математике Архимед вводит зачатки интегрального вычисления - это нужно для высчета площади фигур с изогнутыми стенками. Фигуры вписываются в прямоугольники, высчитывается площадь этих прямоугольников, потом фигуры вписываются в прямоугольники меньшего размера, потом еще меньшего и еще. И так шаг за шагом Архимед смотрел в чему стремятся эти все более аккуратные вычисления и находил их предел. Если вы не знаете зачем нужны интегралы - вот для этого.
На своей могиле Архимед завещал нарисовать круг, вписанный в цилиндр.

Фактически Архимед вводит в геометрию кривые, учится считать их длину и изогнутость.
Следом за интегралами Архимед вводит дифференциалы, которые, кто вдруг не знает, позволяют определить насколько функция (изогнутая линия) быстро растет. Фактически диффиренцирование это и есть "значение изогнутости прямых". Как вы понимаете - в инженерии и особенно военной уметь считать кривые крайне полезно - все баллистические траектории это кривые и есть.

Если Евклид структурирует базу математики - Архимед продвигает науку вперед. Кроме вышеописанного он выдумывает методы находить экстремумы, касательные и центры тяжести, например. При этом сам механизм интегралов и дифференциалов еще не придуман, есть только предпосылки.

Одновременно Аполлоний развивает теорию конических сечений (напомню это метод сведения трехмерных фигур к двумерным срезам). Он добавляет к этому разделу знания о кривых - к примеру взяв половинку шара и обрезав ее в любом месте мы получим двумерное сечение с кривой стороной, высчитав которую можно далее посчитать объем всего полу-шара.

С 1 века до нэ научный прогресс обрывается - по Европе прокатываются римские завоевания. Уже незадолго до рождения Христа - Цезарь сжигает Александрийскую Библиотеку. Однако к первому веку нашей эры Александрия (уже в составе Римской Империи) снова на переднем крыле прогресса.
Герон Александрийский первым создает паровые машины. Менелай описывает свойства сферических треугольников (треугольников, все стороны которых кривые) и создает новую тригонометрическую систему для фигур с изогнутыми гранями. Клавдий Птолемей описывает более тысячи звезд и создает теорию движения планет.
Диофант уже в третьем веке наконец-то освобождает алгебру от геометрии и возвращает ее к числам, никак не связанным с отрезками. Он первый вводит буквенные обозначения неизвестных. Все это будет утеряно на следующие двенадцать веков.

Далее христианство активно гнобит науку (кто вдруг не знает - дьявол это ученый, и вот полюбуйтесь до чего его довели знания). С другой стороны римляне не любят теоретических исследований, поощряя развитие узконаправленных областей, а не обобщение знаний.
К началу третьего века восстановленная Александрийская Библиотека сжигается снова и потом планомерно добивается. К восьмому веку исламские ученые пытаются собрать что выжило, но выжило не много.

Последние выдающиеся греческие ученые - строители Софийского Собора в шестом веке. Им принадлежат комментарии к "Началам", развивающие теорию многоугольников.

В этом месте книга переходит к восточной науке. Описывается, что в -2 веке китайцы разом сожгли все свои книги (впрочем бумага тогда была только-только изобретена), так что до нас дошли только работы начиная с -1 века. При этом реальной мосчи Китай достигает только к 7-10 векам (в эпоху династии Тан). В восьмом веке в Китае распространяет буддизм (приходит из Индии) и вместе с ним - индийская наука. Все это дает реальные плоды только к 10-13 векам, когда китайцы изобретают (в том числе) компас и порох. Все это перенимают монголы, захватывающие Китай в 13 веке. Есть такое мнение, что далее Русь и Среднюю Азию они захватывали уже с огнестрелом наперевес, типо как конкистадоры индейцев.

Основная особенность китайской науки (и культуры) - догматизм. Китайцы хороши в копировании и следовании догмату, но не очень в дебатах вокруг канона и его сломе. В результате китайская средневековая наука произвела мало влияния на мировую, и я эту часть книги пропускаю.

Далее идут описания древнеиндийской науки. Которые очень древние и еще более изолированные от всей остальной и еще меньше влияния оказавшие так что тоже пропускаю. Ну точнее там открыли основы тригонометрии. К примеру такое понятие как "синус", кое какие исследования по отрицательным и иррациональным числам, но в основном все было уничтожено времена колониализма.

Так и далее про страны ислама уже завтра. На этом две трети первого тома прочитаны.

Что дескать робот должен вести себя замедленно и перестраховываясь.
Но при этом в шахматных программах, особенно самообучающихся, мы видим обратную картину - это человек, если он воюет с робот вынужден запираться со всех сторон и оставлять только один понятный сценарий развития событий, и в идеале если вдалеке, за горизонтом просчитываний робота там виднеется ловушка для него.

Роботы же наоборот легко оголяют тылы и действуют с невозможной яростью, жертвуют фигуры ради инициативы, и часто ведут себя так, что на взгляд человека кажется абсолютным безумием.

Главные особенности воюющих роботов, которые мы наблюдаем в шахматах:
1) Они очень легко перескакивают с защиты на нападение.
Там где человек концентрирует атаку в точке и либо давит либо отступает - там робот может в одну секунду яростно давить, в следующую вдруг отступать, потом снова давить, его эмоции не считываются, он одновременно и испуган и обижен и горит ненавистью.

2) У них все вдруг оказывается неожиданно на своем месте
Робот может делать очень странные движения, и потом когда ты начал на него атаковать, пользуясь заминкой, все его приготовления вдруг оказываются имеющими смысл, фигуры вдруг внезапно ровно на тех местах, где они должны быть, чтобы твои атаки не прошли.
И кажется, что он подготовился именно к этой атаке, которую ты делаешь, но нет - он подготовился одновременно ко всем вероятным атакам, которые ты мог сделать во всех случаях, и нашел те места для фигур, которые наиболее выигрышные для всех вероятных твоих действий, о которых ты даже не задумывался.
С точки зрения человека это выглядит как подкрутка удачи, кажется роботу повезло, кажется что он делает случайные движения, а потом вселенная поворачивается так, что эти движения оказываются осмысленными.